Ἐπεὶ δὲ ὁ χρόνος δοκεῖ μὴ ἄνευ ἀριθμοῦ θεωρεῖσθαι, οὐκ ἂν εἴη ἄτοπον καὶ περὶ ἀριθμοῦ βραχέα διεξελθεῖν. ὅσον μὲν γὰρ ἐπὶ τῇ συνηθείᾳ καὶ ἀδοξάστως ἀριθμεῖν τι φαμὲν καὶ ἀριθμὸν εἶναί τι ἀκούομεν· ἡ δὲ τῶν δογματικῶν περιεργία καὶ τὸν κατὰ τούτου κεκίνηκε λόγον.
αὐτίκα γοῦν οἱ ἀπὸ τοῦ Πυθαγόρου καὶ στοιχεῖα τοῦ κόσμου τοὺς ἀριθμοὺς εἶναι λέγουσιν. φασὶ γοῦν, ὅτι τὰ φαινόμενα ἔκ τινος συνέστηκεν, ἁπλᾶ δὲ εἶναι δεῖ τὰ στοιχεῖα· ἄδηλα ἄρα ἐστὶ τὰ στοιχεῖα. τῶν δὲ ἀδήλων τὰ μέν ἐστι σώματα, ὡς οἱ ἀτμοὶ καὶ οἱ ὄγκοι, τὰ δὲ ἀσώματα, ὡς σχήματα καὶ ἰδέαι καὶ ἀριθμοί. ὧν τὰ μὲν σώματά ἐστι σύνθετα, συνεστῶτα ἔκ τε μήκους καὶ πλάτους καὶ βάθους καὶ ἀντιτυπίας ἢ καὶ βάρους. οὐ μόνον ἄρα ἄδηλα, ἀλλὰ καὶ ἀσώματά ἐστι τὰ στοιχεῖα.
ἀλλὰ καὶ τῶν ἀσωμάτων ἕκαστον ἐπιθεωρούμενον ἔχει τὸν ἀριθμόν· ἢ γὰρ ἕν ἐστιν ἢ δύο ἢ πλείω. δι’ ὧν συνάγεται, ὅτι τὰ στοιχεῖα τῶν ὄντων εἰσὶν οἱ ἄδηλοι καὶ ἀσώματοι καὶ πᾶσιν ἐπιθεωρούμενοι ἀριθμοί. καὶ οὐχ ἁπλῶς, ἀλλ’ ἥ τε μονὰς καὶ ἡ κατὰ ἐπισύνθεσιν τῆς μονάδος γινομένη ἀόριστος δυάς, ἧς κατὰ μετουσίαν αἱ κατὰ μέρος γίγνονται δυάδες δυάδες.
ἐκ τούτων γὰρ καὶ τοὺς ἄλλους γίνεσθαι ἀριθμούς, τοὺς ἐπιθεωρουμένους τοῖς ἀριθμητοῖς, καὶ τὸν κόσμον κατασκευάζεσθαι λέγουσιν. τὸ μὲν γὰρ σημεῖον τὸν τῆς μονάδος ἐπέχειν λόγον, τὴν δὲ γραμμὴν τὸν τῆς δυάδος δύο γὰρ σημείων μεταξὺ θεωρεῖσθαι ταύτην), τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τὸν τῆς τριάδος ῥύσιν γὰρ εἶναί φασι τῆς γραμμῆς εἰς πλάτος ἐπ’ ἄλλο σημεῖον ἐκ πλαγίου κείμενον), τὸ δὲ σῶμα τὸν τῆς τετράδος· ἐπανάστασιν γὰρ γίγνεσθαι τῆς ἐπιφανείας ἐπί τι σημεῖον ὑπερκείμενον.
καὶ οὕτω τά τε σώματα καὶ ὅλον τὸν κόσμον ἀνειδωλοποιοῦσιν, ὅντινα καὶ διοικεῖσθαί φασι κατὰ ἁρμονικοὺς λόγους, τόν τε διὰ τεσσάρων, ὅς ἐστιν ἐπίτριτος, ὡς ἔχει πρὸς τὰ ἓξ τὰ ὀκτώ, καὶ τὸν διὰ πέντε, ὅς ἐστιν ἡμιόλιος, ὡς ἔχει πρὸς τὰ ἓξ τὰ ἐννέα, καὶ τὸν διὰ πασῶν, ὅς ἐστι διπλάσιος, ὡς ἔχει πρὸς τὰ ἓξ τὰ δώδεκα.
ταῦτά τε οὖν ὀνειροπολοῦσιν, καὶ ὅτι ἕτερόν τι ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς παρὰ τὰ ἀριθμητὰ κατασκευάζουσι, λέγοντες ὅτι εἰ τὸ ζῷον κατὰ τὸν ἑαυτοῦ λόγον ἐστίν, εἰ τύχοι, ἕν, τὸ φυτόν, ἐπεὶ μή ἐστι ζῷον, οὐκ ἔσται ἕν· ἔστι δὲ καὶ <τὸ> φυτὸν ἕν· οὐκ ἄρα ζῷον, <ὡς ζῷον>, ἕν ἐστιν, ἀλλὰ κατά τι ἕτερον ἐπιθεωρούμενον ἔξωθεν αὐτῷ, οὗ μετέχει ἕκαστον καὶ γίνεται δι’ αὐτὸ ἕν. καὶ εἰ τὰ ἀριθμητά ἐστιν ὁ ἀριθμός, ἐπειδὴ ἄνθρωποί εἰσιν οἱ ἀριθμητοὶ καὶ βόες, εἰ τύχοι, καὶ ἵπποι, ἄνθρωποι καὶ βόες καὶ ἵπποι ἔσται ὁ ἀριθμός, καὶ λευκὸς ἀριθμὸς καὶ μέλας καὶ γενειήτης, εἰ τύχοιεν τοιοῦτοι ὄντες οἱ μετρούμενοι.
ταῦτα δέ ἐστιν ἄτοπα· οὐκ ἄρα τὰ ἀριθμητά ἐστιν ὁ ἀριθμός, ἀλλ’ ἰδίαν ὑπόστασιν ἔχει παρὰ ταῦτα, καθ’ ἣν καὶ ἐπιθεωρεῖται τοῖς ἀριθμητοῖς καὶ ἔστι στοιχεῖον.
Οὕτως οὖν ἐκείνων συναγαγόντων, ὅτι ἀριθμὸς οὔκ ἐστι τὰ ἀριθμητά, παρεισῆλθεν ἡ κατὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἀπορία. λέγεται γάρ, ὅτι εἰ ἔστιν ἀριθμός, ἤτοι αὐτὰ τὰ ἀριθμητά ἐστιν ὁ ἀριθμὸς ἢ ἕτερόν τι παρὰ ταῦτα ἔξωθεν· οὔτε δὲ αὐτὰ τὰ ἀριθμητά ἐστιν ὁ ἀριθμός, ὡς ἀπέδειξαν οἱ Πυθαγορικοί, οὔτε ἕτερόν τι παρὰ ταῦτα, ὡς ὑπομνήσομεν· οὐδὲν ἄρα ἐστὶν ὁ ἀριθμός.
ὅτι δὲ οὐδὲν ἔξωθέν ἐστι παρὰ τὰ ἀριθμητὰ ὁ ἀριθμός, παραστήσομεν ἐπὶ τῆς μονάδος τὸν λόγον στήσαντες εὐσήμου διδασκαλίας ἕνεκεν. εἰ γὰρ ἔστι τι καθ’ ἑαυτὴν ἡ μονάς, ἧς μετέχον ἕκαστον τῶν μετεχόντων αὐτῆς γίνεται ἕν, ἤτοι μία ἔσται αὐτὴ ἡ μονὰς ἢ τοσαῦται ὅσα τὰ μετέχοντα αὐτῆς ἐστιν. ἀλλ’ εἰ μὲν μία ἐστίν, πότερον ὅλης αὐτῆς μετέχει ἕκαστον τῶν μετέχειν αὐτῆς λεγομένων ἢ μέρους αὐτῆς; εἰ μὲν γὰρ πᾶσαν ἔχει τὴν μονάδα, εἰ τύχοι, ὁ εἷς ἄνθρωπος, οὐκέτι ἔσται μονὰς ἧς μεθέξει ὁ εἷς ἵππος ἢ ὁ εἷς κύων ἢ τῶν ἄλλων ἕκαστον ὃ λέγομεν εἶναι ἕν, ὥσπερ καὶ πολλῶν ὑποτεθέντων γυμνῶν ἀνθρώπων,
ἑνὸς δὲ ὄντος ἱματίου καὶ τοῦτο ἑνὸς ἀμφιασαμένου, γυμνοὶ μενοῦσιν οἱ λοιποὶ καὶ χωρὶς ἱματίου. εἰ δὲ μέρους αὐτῆς μετέχει ἕκαστον, πρῶτον μὲν ἕξει μέρος τι ἡ μονάς, καὶ ἄπειρά γε ἕξει μέρη, εἰς ἃ διαιρεῖται· ὅπερ ἄτοπον εἶτα ὡς τὸ μέρος τῆς δεκάδος, οἷον ἡ δυάς, οὔκ ἐστι δεκάς, οὕτως οὐδὲ τὸ μέρος τῆς μονάδος ἔσται μονάς, διὰ δὲ τοῦτο οὐδὲ μεθέξει τι τῆς μονάδος. ὥστε οὔκ ἐστι μία ἡ μονὰς ἧς μετέχειν λέγεται τὰ κατὰ μέρος.
εἰ δὲ ἰσάριθμοι τοῖς ἀριθμητοῖς, ἐφ’ ὧν λέγεται τὸ ἕν, αἱ μονάδες εἰσίν, ὧν κατὰ μετοχὴν ἕκαστον τῶν κατὰ μέρος λέγεται ἕν, ἄπειροι ἔσονται αἱ μετεχόμεναι μονάδες. καὶ αὗται ἤτοι μετέχουσιν ἐπαναβεβηκυίας μονάδος ἢ μονάδων ἰσαρίθμων αὐταῖς καὶ διὰ τοῦτό εἰσι μονάδες) ἢ οὐ μετέχουσιν, ἀλλὰ χωρίς τινος μετοχῆς μονάδες εἰσίν.
εἰ μὲν γὰρ χωρὶς μετοχῆς μονάδες εἶναι δύνανται αὗται, δυνήσεται καὶ τῶν αἰσθητῶν ἕκαστον χωρὶς μονάδος μετοχῆς ‘ἓν εἶναι, καὶ αὐτόθεν περιτρέπεται ἡ καθ’ ἑαυτὴν θεωρεῖσθαι λεγομένη μονάς. εἰ δὲ ἀπὸ μετοχῆς κἀκεῖναι μονάδες εἰσίν, ἤτοι μιᾶς μετέχουσι πᾶσαι ἢ μία ἑκάστη ἰδίας. καὶ εἰ μὲν πᾶσαι μιᾶς, ἤτοι κατὰ μέρος ἑκάστη ἢ ὅλης λεχθήσεται μετέχειν, καὶ μένουσιν αἱ ἀρχῆθεν ἀτοπίαι·
εἰ δὲ ἑκάστη ἰδίας, καὶ ἐκείνων τῶν μονάδων ἑκάστῃ μονάδα ἐπιθεωρεῖσθαι δεῖ, καὶ ταῖς ἐπιθεωρουμέναις ἐκείναις ἄλλας, καὶ μέχρις ἀπείρου. εἰ οὖν ἵνα καταλάβωμεν, ὅτι εἰσί τινες καθ’ ἑαυτὰς μονάδες, ὧν κατὰ μετοχὴν ἕκαστον τῶν ὄντων ἐστὶν ἕν, δεῖ κατειληφέναι ἀπειράκις ἀπείρους νοητὰς μονάδας, ἀδύνατον δὲ καταλαβεῖν ἀπειράκις ἀπείρους μονάδας νοητάς, ἀδύνατον ἄρα ἐστὶν ἀποφήνασθαι, ὅτι εἰσί τινες νοηταὶ μονάδες καὶ ἕκαστον τῶν ὄντων ἐστὶν ‘ἓν κατὰ μετοχὴν ἰδίας μονάδος γινόμενον ἕν.
ἄτοπον ἄρα τὸ λέγειν, ὅτι τοσαῦταί εἰσιν αἱ μονάδες ὅσα τὰ μετέχοντα αὐτῶν. εἰ δὲ μήτε μία ἐστὶν ἡ καθ’ ἑαυτὴν λεγομένη μονὰς μήτε τοσαῦται ὅσα τὰ μετέχοντα αὐτῆς ἐστιν, οὐδὲ ἔστιν ὅλως μονὰς καθ’ ἑαυτήν. ὁμοίως δὲ οὐδὲ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν ἕκαστος καθ’ ἑαυτὸν ἔσται· χρῆσθαι γὰρ ἔνεστιν ἐπὶ πάντων τῶν ἀριθμῶν τῷ λόγῳ παραδειγματικῶς νῦν ἐπὶ τῆς μονάδος ἠρωτημένῳ. ἀλλ’ εἰ μήτε καθ’ ἑαυτόν ἐστιν ὁ ἀριθμός, ὡς ὑπεμνήσαμεν, μήτε αὐτὰ τὰ ἀριθμητὰ ὁ ἀριθμός ἐστιν, ὡς οἱ ἀπὸ Πυθαγόρου παρέστησαν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐδὲν ἔστι, λεκτέον μηδὲ εἶναι ἀριθμόν.
Πῶς δὲ καὶ γίνεσθαί φασιν ἐκ τῆς μονάδος τὴν δυάδα οἱ ἔξωθέν τι δοκοῦντες εἶναι τὸν ἀριθμὸν παρὰ τὰ ἀριθμητά ὅτε γὰρ συντίθεμεν μονάδα ἑτέρᾳ μονάδι, ἤτοι προστίθεταί τι ταῖς μονάσιν ἔξωθεν, ἢ ἀφαιρεῖταί τι ἀπ’ αὐτῶν, ἢ οὔτε προστίθεταί τι οὔτε ἀφαιρεῖται. ἀλλ’ εἰ μὲν οὔτε προστίθεταί <τι> οὔτε ἀφαιρεῖται, οὐκ δυάς. οὔτε γὰρ χωρὶς ἀλλήλων οὖσαι αἱ μονάδες εἶχον τὴν δυάδα ἐπιθεωρουμένην αὐταῖς κατὰ τὸν ἴδιον αὐτῶν λόγον, οὔτε νῦν τι αὐταῖς ἔξωθεν προσγέγονεν,
ὥσπερ οὐδὲ ἀφῄρηται κατὰ τὴν ὑπόθεσιν. ὥστε οὐκ ἔσται δυὰς ἡ σύνθεσις τῆς μονάδος πρὸς τὴν μονάδα, μήτε ἀφαιρέσεως μήτε προσθέσεως ἔξωθέν τινος γινομένης. εἰ δὲ ἀφαίρεσις γίνεται, οὐ μόνον οὐκ ἔσται δυάς, ἀλλὰ καὶ μειωθήσονται αἱ μονάδες. εἰ δὲ προστίθεται αὐταῖς ἔξωθεν ἡ δυάς, ἵνα ἐκ τῶν μονάδων γένηται δυάς, τὰ δύο δοκοῦντα εἶναι τέσσαρα ἔσται· ὑπόκειται γὰρ μονὰς καὶ ἑτέρα μονάς, αἷς προστιθεμένης ἔξωθεν δυάδος ὁ τέσσαρα ἀριθμὸς ἀποτελοῖτο ἄν.
ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀριθμῶν τῶν κατὰ σύνθεσιν ἀποτελεῖσθαι λεγομένων. εἰ οὖν μήτε κατὰ ἀφαίρεσιν μήτε κατὰ πρόσθεσιν μήτε ἄνευ ἀφαιρέσεως καὶ προσθέσεως γίγνονται οἱ σύνθετοι λεγόμενοι εἶναι ἀριθμοὶ ἐκ τῶν ἐπαναβεβηκότων, ἀσύστατός ἐστιν ἡ γένεσις τοῦ κατ’ ἰδίαν καὶ παρὰ τὰ ἀριθμητὰ εἶναι λεγομένου ἀριθμοῦ. ὅτι δὲ οὐδὲ ἀγένητοι τυγχάνουσιν ὄντες οἱ κατὰ σύνθεσιν ἀριθμοί, δηλοῦσιν αὐτοὶ συντίθεσθαί τε αὐτοὺς καὶ γίγνεσθαι φάσκοντες ἐκ τῶν ἐπαναβεβηκότων,, οἷον τῆς τε μονάδος καὶ δυάδος τῆς ἀορίστου.
οὐκοῦν οὐχ ὑφέστηκε κατ’ ἰδίαν ὁ ἀριθμός. εἰ δὲ μήτε κατ’ ἰδίαν ὁ ἀριθμὸς θεωρεῖται μήτε ἐν τοῖς ἀριθμητοῖς ἔχει τὴν ὑπόστασιν, οὐδὲ ἔστι τι ὁ ἀριθμὸς ὅσον ἐπὶ ταῖς περιεργίαις ταῖς ὑπὸ τῶν δογματικῶν εἰσενηνεγμέναις. τοσαῦτα μὲν καὶ περὶ τοῦ φυσικοῦ καλουμένου τῆς φιλοσοφίας μέρους ἀρκούντως ὡς ἐν ὑποτυπώσει λελέχθω.