Ὅτι δὲ οὐδέν ἐστιν ἀφαίρεσις, ἐντεῦθεν ἐπιλογίζονται. εἰ ἀφαιρεῖταί τι ἀπό τινος, ἤτοι τὸ ἴσον ἀπὸ τοῦ ἴσου ἀφαιρεῖται ἢ τὸ μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἢ τὸ ἔλασσον ἀπὸ τοῦ μείζονος. κατὰ οὐδένα δὲ τῶν τρόπων τούτων ἀφαίρεσις γίνεται, ὡς παραστήσομεν· ἀδύνατος ἄρα ἐστὶν ἡ ἀφαίρεσις. ὅτι δὲ κατ’ οὐδένα τῶν προειρημένων τρόπων ἡ ἀφαίρεσις γίνεται δῆλον ἐντεῦθεν. τὸ ἀφαιρούμενον ἀπό τινος ἐμπεριέχεσθαι χρὴ πρὸ τῆς ἀφαιρέσεως τῷ ἀφ’ οὗ ἀφαιρεῖται.
οὔτε δὲ τὸ ἴσον ἐν τῷ ἴσῳ περιέχεται, οἷον τὰ ‘ἐν τοῖς ἕξ· μεῖζον γὰρ εἶναι δεῖ τὸ περιέχον τοῦ περιεχομένου καὶ τὸ ἀφ’ οὗ ἀφαιρεῖταί τι τοῦ ἀφαιρουμένου, ἵνα μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπολείπηταί τι· τούτῳ γὰρ διαφέρειν δοκεῖ τῆς παντελοῦς ἄρσεως ἡ ἀφαίρεσις· οὔτε τὸ μεῖζον ἐν τῷ μικροτέρῳ, οἷον τὰ ἓξ <ἐν> τοῖς πέντε· ἀπεμφαίνει γάρ.
διὰ δὲ τοῦτο οὐδὲ ἔλασσον ἐν τῷ μείζονι. εἰ γὰρ ἐν τοῖς ἓξ περιέχεται τὰ πέντε ὡς ἐν πλείοσιν ἐλάσσονα, καὶ ἐν τοῖς πέντε περισχεθήσεται τὰ τέσσαρα καὶ ἐν τοῖς τέτταρσι τὰ τρία καὶ ἐν τοῖς τρισὶ τὰ δύο καὶ ἐν τούτοις τὸ ἕν. ἕξει οὖν τὰ ἓξ πέντε τέσσαρα τρία δύο ἕν, ὧν συντεθέντων γίνεται ὁ πεντεκαίδεκα ἀριθμός, ὃς ἐν τῷ ἓξ περιέχεσθαι συνάγεται διδομένου τοῦ τὸ ἔλασσον ἐν τῷ μείζονι περιέχεσθαι. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐν τῷ πεντεκαίδεκα τῷ ἐν τῷ ἓξ ἐμπεριεχομένῳ ὁ τριακοντακαιπέντε ἀριθμὸς περιέχεται καὶ κατὰ ὑπόβασιν ἄπειροι. ἄτοπον δὲ τὸ λέγειν ἀπείρους ἀριθμοὺς ἐμπεριέχεσθαι τῷ ἓξ ἀριθμῷ· ἄτοπον ἄρα καὶ τὸ λέγειν, ὅτι ἐν τῷ μείζονι περιέχεται τὸ ἔλασσον.
εἰ οὖν χρὴ τὸ ἀφαιρούμενον ἀπό τινος περιέχεσθαι ἐν ἐκείνῳ ἀφ’ οὗ ἀφαιρεῖσθαι μέλλει, οὔτε δὲ τὸ ἴσον ἐν τῷ ἴσῳ περιέχεται οὔτε τὸ μεῖζον ἐν τῷ μικροτέρῳ οὔτε τὸ μικρότερον ἐν τῷ μείζονι, οὐδὲ ἀφαιρεῖταί τι ἀπό τινος.
Καὶ μὴν εἰ ἀφαιρεῖταί τι ἀπό τινος, ἢ ὅλον ἀπὸ ὅλου ἀφαιρεῖται ἢ μέρος ἀπὸ μέρους ἢ ὅλον ἀπὸ μέρους ἢ μέρος ἀπὸ ὅλου.
ὅλον μὲν οὖν ἀφαιρεῖσθαι λέγειν ἤτοι ἀπὸ ὅλου ἢ ἀπὸ μέρους ἀπεμφαίνει προδήλως. λείπεται δὴ λέγειν τὸ μέρος ἀφαιρεῖσθαι ἤτοι ἀπὸ ὅλου ἢ ἀπὸ μέρους· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οἷον γοῦν, ἵνα ἐπὶ ἀριθμῶν στήσωμεν τὸν λόγον τοῦ σαφοῦς ἕνεκα, ἔστω δεκάς, καὶ ἀπὸ ταύτης ἀφαιρεῖσθαι λεγέσθω μονάς. αὕτη οὖν ἡ μονὰς οὔτε ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖσθαι δύναται οὔτε ἀπὸ τοῦ λειπομένου μέρους τῆς δεκάδος, τουτέστι τῆς ἐννεάδος, ὡς παραστήσω· οὐκοῦν οὐδὲ ἀφαιρεῖται.
εἰ γὰρ ἡ μονὰς ἀπὸ ὅλης ἀφαιρεῖται τῆς δεκάδος, ἐπεὶ ἡ δεκὰς οὔτε ἕτερόν τί ἐστι παρὰ τὰς δέκα μονάδας οὔτε τις τῶν μονάδων ἀλλ’ ἡ συνέλευσις πασῶν τῶν μονάδων, ἀπὸ ἑκάστης μονάδος ἀφαιρεῖσθαι ὀφείλει ἡ μονάς, ἵνα ἀπὸ ὅλης ἀφαιρῆται τῆς δεκάδος. μάλιστα μὲν οὖν ἀπὸ μονάδος οὐδὲν δύναται ἀφαιρεῖσθαι· ἀδιαίρετοι γάρ εἰσιν αἱ μονάδες, καὶ διὰ τοῦτο οὐκ ἀφαιρεθήσεται ἡ μονὰς ἀπὸ τῆς δεκάδος οὕτως.
εἰ δὲ καὶ δοίη τις ἀπὸ ἑκάστης τῶν μονάδων ἀφαιρεῖσθαι τὴν μονάδα, δέκα ἕξει μέρη ἡ μονάς, δέκα δὲ ἔχουσα μέρη δεκὰς ἔσται. ἀλλὰ καὶ ἐπεὶ δέκα ἕτερα μέρη ἀπολέλειπται, ἀφ’ ὧν ἀφῄρηται τὰ τῆς μονάδος λεγομένης δέκα μέρη, ἔσται τὰ δέκα εἴκοσι. ἄτοπον δὲ λέγειν τὸ ‘ἓν δέκα εἶναι καὶ τὰ δέκα εἴκοσι καὶ τὸ ἀδιαίρετον κατὰ αὐτοὺς διαιρεῖσθαι. ἄτοπον ἄρα τὸ λέγειν ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖσθαι τὴν μονάδα.
ἀλλ’ οὐδὲ ἀπὸ τῆς ὑπολειπομένης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς· τὸ μὲν γὰρ ἀφ’ οὗ τι ἀφαιρεῖται οὐ μένει ὁλόκληρον, ἡ δὲ ἐννεὰς μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν ἐκείνης τῆς μονάδος ὁλόκληρος μένει. καὶ ἄλλως, ἐπεὶ ἡ ἐννεὰς οὐδέν ἐστι παρὰ τὰς ἐννέα μονάδας, εἰ μὲν ἀπὸ ὅλης αὐτῆς λέγοιτο ἀφαιρεῖσθαι ἡ μονάς, ἐννεάδος ἀφαίρεσις ἔσται, εἰ δὲ ἀπὸ μέρους τῶν ἐννέα, εἰ μὲν ἀπὸ τῶν ὀκτώ, τὰ αὐτὰ ἄτοπα ἀκολουθήσει, εἰ δὲ ἀπὸ τῆς ἐσχάτης μονάδος, διαιρετὴν εἶναι φήσουσι τὴν μονάδα, ὅπερ ἄτοπον.
οὐκοῦν οὐδὲ ἀπὸ τῆς ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς. εἰ δὲ μήτε ἀπὸ ὅλης τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖται μήτε ἀπὸ μέρους αὐτῆς, οὐδὲ μέρος ἀπὸ ὅλου ἢ μέρους ἀφαιρεῖσθαι δύναται. εἰ οὖν μήτε ὅλον ἀπὸ ὅλου τι ἀφαιρεῖται μήτε μέρος ἀπὸ ὅλου μήτε ὅλον ἀπὸ μέρους μήτε μέρος ἀπὸ μέρους, οὐδὲ ἀφαιρεῖταί τι ἀπό τινος.
‘Ἀλλὰ καὶ ἡ πρόσθεσις τῶν ἀδυνάτων εἶναι παρ’ αὐτοῖς ὑπείληπται. τὸ γὰρ προστιθέμενον, φασίν, ἤτοι ἑαυτῷ προστίθεται ἢ τῷ προϋποκειμένῳ ἢ τῷ ἐξ ἀμφοῖν συνεστῶτι· τούτων δὲ οὐδέν ἐστιν ὑγιές· οὐκοῦν οὐδὲ προστίθεταί τι τινί. οἷον γοῦν ἔστω τι τετρακοτυλιαῖον πλῆθος, καὶ προστιθέσθω κοτύλη. ζητῶ τίνι προστίθεται· ἑαυτῇ μὲν γὰρ οὐ δύναται, ἐπεὶ τὸ μὲν προστιθέμενον ἕτερόν ἐστι τοῦ ᾧ προστίθεται, οὐδὲν δὲ ἑαυτοῦ ἕτερόν ἐστιν.
ἀλλ’ οὐδὲ τῷ ἐξ ἀμφοῖν, τοῦ τετρακοτυλιαίου καὶ τῆς κοτύλης· πῶς γὰρ ἂν προστεθείη τι τῷ μηδέπω ὄντι; καὶ ἄλλως, εἰ τῷ τετρακοτυλιαίῳ καὶ τῇ κοτύλῃ μίγνυται ἡ κοτύλη ἡ προστιθεμένη, ἑξακοτυλιαῖον ἔσται πλῆθος ἀπὸ τοῦ τετρακοτυλιαίου καὶ τῆς κοτύλης καὶ τῆς προστιθεμένης κοτύλης.
εἰ δὲ μόνῳ τῷ τετρακοτυλιαίῳ προστίθεται ἡ κοτύλη, ἐπεὶ τὸ παρεκτεινόμενόν τινι ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ ᾧ παρεκτείνεται, τῷ τετρακοτυλιαίῳ πλήθει ἡ κοτύλη παρεκτεινομένη διπλασιάσει τὸ τετρακοτυλιαῖον ὡς γίνεσθαι τὸ πᾶν πλῆθος ὀκτὼ κοτυλῶν· ὅπερ οὐ θεωρεῖται. εἰ οὖν μήτε ἑαυτῷ προστίθεται τὸ προστίθεσθαι λεγόμενον μήτε τῷ προϋποκειμένῳ μήτε τῷ ἐξ ἀμφοῖν τούτων, παρὰ δὲ ταῦτα οὐδὲν ἔστιν, οὐδὲ προστίθεται οὐδὲν οὐδενί.